驻点:一阶导数为 $0$ 的点(只需要函数在某点一阶可导,且一阶导数值为 $0$)

拐点:函数凹凸性发生变化的点(二阶导数为零,且三阶导不为零)

极值点:在邻域内为最大值的点

如何判定拐点:

  1. 若函数二阶可导,某点二阶导数值为零,两端二阶导数值异号
  2. 若函数三阶可导,则二阶导数为 $0$,三阶导数不为 $0$ 的点就是拐点

如何判定极值点:取极值的点一阶导数为 $0$ 或导数不存在

  1. 一阶导为 $0$ 时,若一阶导两端异号为极值点

  2. 二阶可导时,一阶导为 $0$,二阶导不为 $0$ 则为极值点,二阶导大于 $0$ 极小值,二阶导小于 $0$ 极大值

极值点不一定是驻点,驻点不一定是极值点:因为取极值不需要可导,驻点必须可导

对于可导函数,极值点必定是驻点

拐点不一定是驻点,例如 $y=x^+$:因为二阶导数某点为 $0$ 不能判定一阶导数在某点为 $0$

驻点显然更不一定是拐点,驻点只需要一阶导数为 $0$,而拐点需要二阶可导

在驻点处的单调性可能改变,而在拐点处凹凸性肯定改变

二阶导数为零时,一阶不一定为零;一阶导数为零时,二阶不一定为零

驻点和极值点的区别:可导函数 $f(x)$ 的极值点必定是它的驻点,可导函数 $f(x)$ 的最值点未必是它的驻点,函数的驻点也不一定是极值点;函数在它的导数不存在时,也可能取得极值,例如 $y=|x|$


若 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处存在 $k+1$ 阶导,若 $f^{(k)}(x_0)=0$,且 $f^{(k+1)}(x_0) \not=0 $,则 $f^{(k)}(x)$ 在 $x=x_0$ 左右两端异号

若 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导,若 $f(x_0)=0$,且 $f’(x_0) \not =0$,则 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 左右两端异号,若 $f’(x_0) > 0$,则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处是凹的,否则是凸的