最小乘积问题

最小乘积生成树

问题描述

bzoj 2395

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循环矩阵及其乘法

定义

定义循环矩阵为:

$$
\begin{pmatrix} a _ {0} & a _ {1} & a _ {2} & \cdots & a _ {n-1} \\ a _ {n-1} & a _ {0} & a _ {1} & \cdots & a _ {n-2} \\ a _ {n-2} & a _ {n-1} & a _ {0} & \cdots & a _ {n-3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a _ {1} & a _ {2} & a _ {3}& \cdots & a _ {0} \end{pmatrix}
$$

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斯特林数学习笔记

第一类斯特林数

1

$n$ 个元素划分为 $k$ 个环的方案数

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扩展欧拉定理

$$
a ^ b=
\begin{cases}
a ^ {b \bmod \phi(p)} \quad & \gcd(a,p)=1 \\
a ^ b \quad & \gcd(a,p) \not=1, b < \phi(p)\\
a ^ {b \bmod \phi(p) + \phi (p)} \quad & \gcd(a,p) \not=1, b \ge \phi(p)\\
\end{cases}
$$

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函数极值

驻点:一阶导数为 $0$ 的点(只需要函数在某点一阶可导,且一阶导数值为 $0$)

拐点:函数凹凸性发生变化的点(二阶导数为零,且三阶导不为零)

极值点:在邻域内为最大值的点

如何判定拐点:

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    单位根反演与序列合并

    单位根

    定义 $\mathbb{C}$ 上 $x^n=1$ 的 $n$ 个解为 $\omega _ {n}^{0} \sim \omega _ {n}^{n-1}$,其中 $\omega _ {n}^{1}=e^{\frac{2 \pi i}{n}}$

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    微积分与极限

    原函数

    $$
    F’(x)=f(x) \Rightarrow \int f(x)dx=F(x)+C
    $$

    $$
    F’(x)=f(x) \Rightarrow \int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)
    $$

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    三角换元

    基本公式

    $$
    1=\sin^2 \theta+\cos^2 \theta
    $$

    和角公式

    $$
    \sin(\alpha \pm \beta)=\sin \alpha\cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta
    $$

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    曲线长、旋转图形表面积、旋转图形体积

    曲线长

    $$
    L=\int_{a}^{b} \sqrt{dx^2+dy^2}=\int_{a}^{b} \sqrt{dx^2\left(1+\frac{dy^2}{dx^2}\right)}=\int_{a}^{b} \sqrt{1+f’^2(x)}dx
    $$

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    拟阵

    线性无关

    对于 ${x_1,x_2, \cdots, x_n}$,若不存在一组不全为 $0$ 的 ${k_1,k_2, \cdots, k_n}$,满足 $\sum_{i=1}^{n}k_ix_i=0$,则称它们线性无关

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